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domingo, 27 de septiembre de 2009

LOGICA DE LOS ENUNCIADOS


INTRODUCCIÓN
La lógica elemental se divide en:
· Lógica de enunciados
· Lógica de predicados
Ambas utilizan un lenguaje propio artificial o formalización de un lenguaje natural que permite analizar las proposiciones del lenguaje natural.
El cometido de la lógica clásica elemental es determinar si nuestros razonamientos, independientemente de su contenido, son correctos o incorrectos.
Por razonamientos (o argumentos) se entiende un conjunto de proposiciones de tal manera que, una de las cuales, denominada conclusión del razonamiento, pueda presentarse como consecuencia de las demás proposiciones, llamadas premisas del razonamiento.
En la lógica de enunciados la unidad mínima es el enunciado, es decir, un segmento lingüístico que tiene sentido completo por sí mismo:
Esta fiesta es muy divertida
Esta fiesta es muy divertida y la música es muy buena
Para que un enunciado sea tal, tiene que poder atribuírsele valores de verdad o falsedad.
En el caso de las dos oraciones anteriores, la verdad o falsedad habrá de determinarse empíricamente, comprobando si, de hecho, la fiesta es divertida y buena la música. En este caso, además, la dificultad es aún mayor ya que se trata de una afirmación subjetiva.
La lógica de enunciados (o lógica proposicional), trata del estudio de la composición de enunciados mediante conectores (y, o, si...entonces, etc.) y se fundamenta en el principio de bivalencia, según el cual, todo enunciado es verdadero o falso, pero nunca ambas cosas a la vez..
Podemos decir, por lo tanto, que la lógica de enunciados se dedica a formalizar las proposiciones del lenguaje natural en un lenguaje simbólico y a definir los conectores, estudiando las leyes de combinación o deducción de los enunciados que las contienen.
En la lógica de predicados se formaliza y estudia la oración atendiendo a los dos términos que la componen: el sujeto y el predicado.

LOS ENUNCIADOS
Ya hemos visto que la unidad mínima de este tipo de lógica es el enunciado o segmento lingüístico con sentido completo.
Los enunciados pueden ser:
1. Simples o atómicos: no tienen conectores de ninguna clase
Ejemplos: El Tajo es un río.
En esta fiesta hay 20 personas
2. Compuestos o moleculares: utilizan conectores que unen varios segmentos lingüísticos:
Ejemplo: En esta fiesta hay 20 personas y poca cerveza
LOS CONECTORES de los enunciados moleculares son:
NEGACIÓN: se representa por el símbolo ~ ó ¬ .Así, el enunciado ¬p se leería como: " no p"; "no es cierto que p"; "ni p".El enunciado no es verdad que no sea puntual se formularía: ¬¬p, donde p es la variable que representa a ser puntual.
CONJUNCIÓN: su símbolo es una v mayúscula al revés: (podemos utilizar también el signo & )El enunciado : viajo a la India y a China se formularía: i & c , donde i es la variable que representa a viajar a India y c es la variable que representa a viajar a China.p & c & r se leerá: "p y c y r" ( p y también c, y además r ).
DISYUNCIÓN: Su símbolo es V (como la inicial de la disyunción latina "vel" y se traduce por o.El enunciado: Llegaré en tren o en avión se formularía: t V a, donde t es la variable que representa llegar en tren y a la variable que representa llegar en avión.
CONDICIONALO IMPLICADOR: Su símbolo es -> y se traduce por: si....entonces.El enunciado: si vienes pronto, iremos al cine se formularía: p -->c , donde p es la variable que representa al antecedente venir pronto y c a la variable ir al cine.p --> ( q --> r ) se leerá como: si p entonces q entonces r ( p implica q entonces r).
BICONDICIONAL O COIMPLICADOR: Su símbolo es <-> y se lee: si y sólo si o también: cuando y solamente cuando.El enunciado si y sólo si respetas el deber eres moral se formularía: r <--> m, donde r es la variable que representa respetar el deber y m la variable ser moral.
TIPOS DE DEDUCCIÓN O REGLAS DE INFERENCIA
La deducción directa
Un argumento es un conjunto de enunciados o proposiciones entre los cuales una proposición final, llamada conclusión, se sigue de las otras proposiciones o premisas. Pues bien, llamamos deducción a un modo de argumentar tal que el paso de las premisas a la conclusión es necesario.
La deducción formal o lógica consiste en que a partir de unas premisas, representadas con símbolos, y a través de unas reglas, obtenemos una conclusión (deducimos la conclusión).
Los símbolos en la lógica de enunciados pueden ser:
Los conectores o juntores: ¬, &, V, ->, <->
Letras enunciativas: p, q, r...etc., que representan los enunciados de la argumentación.
Símbolos auxiliares: ( ), I- (este último signo se utiliza para indicar formalmente la conclusión):
Ejemplo: "si graniza (g) o nieva (n) entonces, uso paraguas (p) o no salgo de casa (¬s) . Se da el caso de que graniza (g) . Por lo tanto, no salgo de casa (¬s) ".
La formalización de este argumento es la siguiente:
( g V n ) -> ( p V ¬s ) , g I- ¬s
Ahora bien; la deducción puede ser directa e indirecta.
Por deducción directa entendemos aquella en la cual, a través de las premisas, obtenemos la conclusión de un modo directo:
Ejemplo: Si vienes pronto, podremos ir al cine. Has venido pronto. Conclusión: vamos al cine.
Formalicémoslo: p -> c, p I- c
Ahora bien ¿Cómo se lleva a cabo la deducción formal o derivación?
El primer paso consiste en escribir las premisas iniciales con las que contamos, numerándolas y anteponiendo a la numeración un guión horizontal.
En el segundo paso, aplicando sobre las premisas las reglas de derivación que luego veremos, numeramos las derivaciones que se extraigan de ellas, pero en este caso no le antecedemos a los números que le correspondan ningún guión. El último número corresponde con la obtención de la conclusión deseada. Veámoslo:
Tomando como ejemplo la formulación anterior, tendremos que derivar c (la conclusión), de las premisas p -> c y c
-1 p -> c-2 p 3 c MP 1,2
Las letras que siguen a la línea de derivación tres se corresponden con las iniciales de la regla de cálculo utilizada, en este caso, el Modus Ponens: dada una implicación cualquiera, si se da el antecedente, entonces necesariamente podemos inferir el consecuente (esto se verá en el próximo capítulo). La numeración que sigue al nombre de la regla se refiere a las líneas sobre las que se ha aplicado dicha regla.
Derivemos la siguiente fórmula utilizando el Modus Ponens: p -> ( q -> r ), p -> q, p I- r
- 1 p -> (q -> r)- 2 p -> q- 3 p 4 q -> r MP 1,3 5 q MP 2,3 6 r MP 4,5
La deducción indirecta o reducción al absurdo (reductio ad absurdum)
En este tipo de deducción obtenemos la conclusión de modo indirecto, negando la misma conclusión hasta llegar a una contradicción.
Los pasos de la reducción al absurdo son los siguientes:
1. Suponemos hipotéticamente la falsedad de la conclusión: ¬p2. Esta suposición nos conduce a una contradicción: ( q & ¬q )3. Negamos, por lo tanto, la falsedad de la suposición: ¬ ( ¬p ) 4. Afirmamos la conclusión deseada: p
Antes de realizar un ejemplo concreto sobre la reducción al absurdo conviene que veamos las reglas en las que se fundamenta la deducción: las llamadas reglas de inferencia.
VALORES DE VERDAD DE LOS ENUNCIADOS. LAS TABLAS DE VERDAD.
1. valores de verdad de los enunciados.
La conjunción:
Una conjunción p & q es verdadera cuando todos sus elementos son verdaderos y es falsa cuando alguno de sus elementos o todos ellos sean falsos.
La representación de los valores de verdad de la conjunción :
p q
p & q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
0

La disyunción:
Una disyunción p V q es verdadera cuando por lo menos uno de sus elementos es verdadero y es falsa cuando todos sus elementos son falsos.
La tabla de verdad de la disyunción es:

p q
p V q
1 1
1
1 0
1
0 1
1
0 0
0
La implicación:
Una implicación p -> q es verdadera siempre que no se de el caso de que su antecedente p sea verdadero y su consecuente q falso.
La tabla de verdad de la implicación es la siguiente:
p q
p -> q
1 1
1
1 0
0
0 1
1
0 0
1

El bi condicional o coimplicador
Una coimplicación p <-> q es verdadera cuando sus elementos ( p y q ) tengan el mismo valor de verdad, es decir, sean los dos verdaderos o los dos falsos.
Su representación es la siguiente:
p q
p <-> q
1 1
1
1 0
0
0 1
0
0 0
1

La negación.
Dado cualquier enunciado verdadero p , su negación ¬p será falsa.Y si un enunciado es falso, su negación será verdadera.
La tabla de verdad de la negación puede representarse como sigue :
p
¬ p
1
0
0
1



3. Confección de las tablas de verdad para cualquier fórmula u argumento.
Si podemos determinar el valor de verdad de cada enunciado atómico, podremos saber qué valor de verdad tendrá un enunciado molecular o un conjunto de enunciados moleculares.
Podemos construir una tabla de verdad de cualquier fórmula de lógica de enunciados. Para ello, tendremos que seguir los siguientes pasos:
1. calcular el número de filas que tendrá la tabla. Este será equivalente a 2 elevado al número de variables que tenga la fórmula ( 2n donde n representa el número de variables que intervienen). Ejemplo: calculemos el número de filas que tendrá la fórmula p & (q V r) -> ( p & q) V ( p & r ). Tenemos tres variables, luego el número será igual a 23, es decir, 8 filas.
2 .Después detallaremos la columna inicial, que incluirá todos los posibles valores de verdad que puedan darse entre los elementos de la fórmula.
p11110000
q11001100
r10101010
3. Una vez hecho esto hay que confeccionar las columnas intermedias, empezando por los componentes principales e internos, hasta abarcar la conexión completa de todos sus elementos. Sea la fórmula:

p & (q V r) -> ( p & q) V ( p & r )




Utilizaremos el metalenguaje para denominar a los distintos elementos de la fórmula. Llamaremos A a p & (q V r) y B a ( p & q) V ( p & r ) . Con lo cual, el esquema de la fórmula queda como sigue: A -> B
p11110000
q11001100
r10101010
q V r11101110
A11100000
p & q11000000
p & r10100000
B11100000
A -> B11111111

4. En la columna final se resuelve la fórmula total A -> B
4. Tautologías, contradicciones y contingencias.
Dependiendo de los valores de verdad que obtengamos en la columna final podrán suceder tres cosas:
1. Que todos los valores sean verdaderos (1), y a la fórmula la llamaremos tautología. Esto quiere decir que la fórmula es verdadera en todos los casos, independientemente de los valores de verdad que le atribuyamos.
2. Que todos los valores de la columna final sean falsos (0), en cuyo caso nos encontramos con una contradicción. Una fórmula contradictoria es aquella que no es verdadera en ningún caso, porque no es satisfacible con ninguna atribución de verdad.
3. Que los valores de la columna final sean verdaderos (1) y falsos (0), en cuyo caso nos encontramos con una contingencia. En una contingencia existen valores de verdad que satisfacen la fórmula y otros que no la satisfacen.
REGLAS ELEMENTALES DEL CÁLCULO DE JUNTORES
Noción de regla.
Denominamos reglas de inferencia a aquellas operaciones que deben realizarse a fin de obtener una conclusión correcta a partir de unas premisas dadas. El uso de las reglas garantiza la validez de la inferencia.
Son ocho las reglas elementales, dos por cada conector (o juntor).
1. reglas básicas de la conjunción
Regla de introducción del conjuntor ( IC ) o ( Prod )
Dada la afirmación de dos proposiciones ( A , B ) podemos afirmar la conjunción de ambas ( A & B ).
Esta regla es evidente: si decimos que el gato es siamés ( A) y afirmamos también que tiene los ojos azules ( B ), podemos afirmar la conjunción de ambas proposiciones "el gato es siamés y tiene los ojos azules" ( A & B ).
El esquema de la regla de introducción del conjuntor ( IC) es el siguiente:

Regla de eliminación del conjuntor ( EC ) o ( Simp )
Dada una conjunción , podemos afirmar cualquiera de sus miembros por separado. Así en la conjunción : el gato es siamés (A ) y ( & ) el perro tiene los ojos verdes ( B ), podemos afirmar solamente el gato es siamés ( A ) o el perro tiene los ojos verdes ( B ).
El esquema de la regla de eliminación del conjuntor ( EC ) es:
EC1
EC2
2. Reglas básicas de la disyunción.
Regla de introducción del disyuntor ( ID ) o ( Ad )
Dado un enunciado o fórmula cualquiera, es posible añadirle cualquier otro enunciado mediante una disyunción. Sea cual sea el valor de verdad de la primera, nada se modifica.
El esquema de la regla de introducción del disyuntor( ID ) es:
ID1
ID2
Regla de eliminación del disyuntor ( ED ) o ( Cas )
Dada una disyunción ( A V B ) si del primer término inferimos otro (C) y del segundo término volvemos a inferir ese otro ( C ), se puede afirmar C.
Ahora bien, como no se puede establecer la afirmación de ninguno de los términos de una disyunción, sino sólo suponer que se da uno u otro, cuando inferimos C, los términos de la disyunción deben ser cancelados.
Las suposiciones de los términos deben ir precedidas por un guión vertical que incluya horizontalmente, todos las líneas inferidas a partir de la suposición.
( Cas)

3. Reglas básicas del implicador
Regla de introducción del implicador ( II )
Si a partir de una proposición se sigue otra cualquiera, podemos afirmar una implicación de ambas, siendo la primera proposición el antecedente de la hipótesis obtenida, que hace de consecuente.
El esquema de la regla de introducción del implicador ( II ) es:
( II )
Regla de eliminación del implicador ( EI ) o Modus Ponens ( MP )
Dada una implicación cualquiera, si suponemos el término que hace de antecedente en dicha fórmula, podemos afirmar independientemente el término que hace de consecuente en dicha implicación.
El esquema de esta regla es:

4. Reglas básicas de la negación
Regla de introducción de la negación ( IN )
Si de una proposición cualquiera ( A ) se sigue una contradicción ( B & ¬B ), la proposición ha de ser negada ( ¬A ).
El esquema de esta regla es el siguiente:
Regla de eliminación de la negación ( EN ) o doble negación ( DN )
La doble negación de una fórmula equivale a su afirmación. Esta regla es evidente: decir que no es cierto que el coche no es azul ( ¬¬A ), significa que efectivamente lo es ( A ).
El esquema de la regla es el que sigue:
REGLAS DERIVADAS DEL CÁLCULO DE JUNTORES
Las reglas derivadas.
Son aquellas que están fundamentadas en las reglas básicas o elementales, y que nos permiten agilizar el proceso deductivo.
Las reglas derivadas pueden ser agrupadas según sus conectores o juntores: conjunción, disyunción, implicación y negación.
1. reglas derivadas de la conjunción
Propiedad conmutativa de la conjunción ( CC )
La doble línea indica que el proceso es igualmente válido a la inversa, es decir, que si tenemos la conjunción B & A, podemos afirmar también A & B.
Propiedad asociativa de la conjunción ( AC ).

Propiedad distributiva de la conjunción ( DC ).

Idempotencia de la conjunción ( IdC ).

Absorción de la conjunción ( AbsC ).

Definición de la conjunción ( DfC1 y DfC2 ).

2. Reglas derivadas de la disyunción
Propiedad conmutativa de la disyunción ( CD )

Propiedad asociativa de la disyunción ( AD )


Propiedad distributiva de la disyunción ( DD )

A v ( B V C)
(A V B) & (A V C)


Idempotencia de la disyunción ( IdD )


Absorción de la disyunción ( AbsD )


Absorción de la disyunción ( AbsD )


Absorción de la disyunción ( AbsD )


Definición de disyunción ( DfD )


4. Reglas derivadas de la negación
Regla de introducción de la doble negación ( IDN )

Ex contradictione quodlibet ( EQL )

Contraposición ( Cp )

Modus tollens ( MT)

Principio de no contradicción ( PNC )

¬ ( A & ¬ A )

Principio de exclusión de tercero ( PTE )

A V ¬ A

Leyes de De Morgan ( DM1 y DM2 )



4. Reglas derivadas de la implicación
Silogismo hipotético ( Sil )

Mutación de premisas ( Mut )

Carga de premisa ( Cpr )

Definición de implicador ( DI1 y DI2 )
4. Reglas derivadas de coimplicación
Introducción del coimplicador ( ICO)

Eliminación del coimplicador ( ECO1 y ECO2 )

TABLAS SEMÁNTICAS O ÁRBOLES LÓGICOS
Las tablas semánticas:
Hemos visto que las deducciones pueden hacerse atendiendo a los problemas de derivación, realizándose esta última a través de la aplicación de las reglas básicas o derivadas.Pero también podemos utilizar otro criterio: el semántico, según el cual, y suponiendo que la deducción sea correcta, no podemos obtener una conclusión falsa de premisas verdaderas. La semántica atiende por una parte al hecho al que se refiere la proposición y, por otra parte, a su valor de verdad.
El método de las tablas semánticas supone una búsqueda de contraejemplos que invaliden el argumento. Es una especie de reducción al absurdo, en la que se supone la verdad de la negación de la conclusión y, a partir de ella, se llega a una contradicción. Veámoslo.
REGLAS SEMÁNTICAS
La búsqueda de contraejemplos que invaliden la argumentación se realiza a través de la aplicación de una serie de reglas que tienen bastante parecido con las reglas básicas del cálculo de juntores.
Estas reglas son las siguientes:
Regla de negación:
Doble negación (DN)
Siempre que tengamos una doble negación podemos inferir la afirmación de dicho término:
Reglas de la implicación:
Verdad de la implicación (VI):
Siempre que se nos de una implicación podremos afirmar separadamente que su antecedente es falso o su consecuente es verdadero:
La barra vertical que separa a ¬A de B implica la existencia de una bifurcación en la derivación, puesto que pueden darse varias posibilidades de las cuales, al menos una, ha de ser verdadera (o
Falsedad de la implicación (FI)
Una implicación es falsa cuando su antecedente es verdadero y su consecuente falso:


Reglas de la conjunción:
Verdad de la conjunción (VD)
Una conjunción es verdadera si todos sus términos son verdaderos:
Falsedad de la conjunción (FC)
Una conjunción es falsa si es falso alguno de sus términos:
Reglas de la disyunción:
Verdad de la disyunción (VD)
Una disyunción es verdadera cuando al menos uno de sus dos términos es verdadero:
Falsedad de la disyunción:
Una disyunción es falsa cuando todos sus términos son falsos:


DEDUCCIONES SEMÁNTICAS
Supongamos que tenemos el siguiente argumento: (A & B) -> C, A & ¬C - ¬B
Queremos demostrar la conclusión ¬B siguiendo el método de las tablas semánticas o árboles lógicos.
Empezamos por negar la conclusión: B
Después, mediante las reglas dadas anteriormente, voy simplificando todas las premisas hasta llegar a todas las contradicciones posibles. Cada bifurcación, que representa una posiblilidad, debe llegar a una contradicción para que la conclusión buscada sea verdadera.
Por regla general se simplifican primero las premisas que no se bifurcan y luego las que se bifurcan:
Las cruces indican que se ha llegado a una contradicción. Queda demostrado, por lo tanto, que ¬B es verdadero, ya que negando éste, todas las simplificaciones de las premisas llevan a una contradicción. La conclusión ¬B será falsa cuando alguna bifurcación quede abierta.